1. 引言

经典物理学的主角是物质和能量。20 世纪初，爱因斯坦写下E =mc2 ，将质量和能量同一在了一路。而大年夜那之后，一个新角色——信息(Information)——逐渐走向了物理学舞台的中心。信息是关于不肯定程度的度量。Shannon 创建信息论的初志是为了定量化地描述信息的存储和传输。Jaynes 大年夜信息论的角度研究多粒子体系，从新阐释了统计力学。本来，物理学家所熟知的热力学熵与Shannon 用来衡量信息量的信息熵(Information Entropy)系出同源。Landauer 指出擦除信息会增长热力学熵，大年夜而产生热量。是以，对于信息的一切处理(比如计算)都受到热力学根本定律的束缚。这些工作使人们逐渐意识到，信息不是一个纯真的数学概念，而是与物质和能量一样根本的物理概念。

为了分析比较图2 中两种收集表达才能的好坏，我们按照文献的思路将它们分别转化成矩阵乘积态。因为是等价转换，响应的矩阵乘积态的虚拟键维数限制了本来的玻尔兹曼机承载纠缠才能的上限。而根据文献，要估计对应的虚拟键维数，只须要检查在玻尔兹曼机中去除若干个神经元就可以将收集大年夜两侧断开。如图2 中虚线方框所示，深层玻尔兹曼机所对应的虚拟键维数更大年夜，大年夜而可以或许比浅层的玻尔兹曼机负载更大年夜的纠缠。以上的分析仅依附于玻尔兹曼机的构造而不涉及到任何权重的数值信息。经由过程如许的分析，我们大年夜量子纠缠的角度说清楚明了深层构造的重要性：深层玻尔兹曼机在拥有同样参数个数的情况下具有相对更强的表达才能上限。这里，张量收集态不仅仅是一个分析手段。作为一个副产品，我们也懂得了它与玻尔兹曼机在函数近似上的各自优缺点。比如，为了表达同样的量子态，玻尔兹曼机所用的参数个数可以比张量收集态少得多。然而，对于某些特定状况应用限制玻尔兹曼机表达却不如张量收集态便利。

机械进修中的连接主义学派(Connectionism)倡导应用人工神经收集(Artifical Neural Network)来解决这类函数近似问题。连接主义强调复杂的现象(比如智能)不来自于相对简单的构成单位，而来自于这些单位之间的连接。图1(a)，(b)展示了两种常见的人工神经收集构造。图1(a)是前馈神经收集(Feedforward Neural Network)。图中的每一个蓝色圆圈代表一小我工神经元，它接收上一层结不雅作为输入，加权乞降之后经由过程一个非线性的激活函数传递给下一层。可见，前馈神经收集是经由过程独裁非线性函数的嵌套来表达复杂的多元函数的。而图1(b)显示了别的一种函数参数化方法：限制玻尔兹曼机(Restricted Boltzmann Machine)。大年夜名字就可以看出，玻尔兹曼机和统计物理有着十分密切的接洽关系。我们可以将它懂得成一个统计力学体系，个中包含了两组互相感化的随机变量：显变量(红色)和隐变量(蓝色)。“玻尔兹曼机”的名字来源竽暌冠这些随机变量的结合概率分布遵守统计物理中的玻尔兹曼分布。而“限制”这个词来源竽暌冠图1(b)中所示的特别收集构造：所有连接都仅在显层和隐层之间。和全连接的玻尔兹曼机比拟，如许的构造可以极大年夜地进步枷⒚效力。而对于一个只关怀显变量的不雅察者来说，即便显层内部没有直接的互相感化，隐层神经元所引诱的有效互相感化照样可以将它们接洽关系起来。

量子力学给物理世界带来了固有的不肯定性，大年夜催促生了量子信息理论。量子信息论中最核心的概念是量子纠缠。如不雅两个微不雅粒子的┞符体波函数不克不及够被写成各部分的直积，那么它们之间就存在纠缠。对于存在量子纠缠的体系，不雅察个中的一部分可以或许告诉我们关于别的一部分的信息。类比于经典信息熵， 我们应用纠缠熵(Entanglement Entropy)来度量量子纠缠的大年夜小。量子信息论的视角，特别是量子纠缠的概念在现代物理学的研究中扮演着日趋重要的角色。

凝集态物理学家用量子纠缠来描述量子物质态。传统上，他们应用对称性和宏不雅序参量来区分不呵９依υ?质状况。这成功地说清楚明了超流体、超导体、磁性等丰富多彩的天然现象。然而，近些年来人们发清楚明了越来越多仅用对称性难以区分的物质态，比如不合种类的自旋液身形、分数量子霍尔态等等。量子纠缠可以给这些新的物质态一个恰当的标记。比如，纠缠熵跟着体系尺寸的标度行动反竽暌钩了量子物质态的根本特点。而对于标度行动的修改也可能包含着关于物质态的普适信息。研究量子物质态中纠缠的大年夜小和模式成为现代凝集态物理的一个核心问题。此外，量子纠缠还指引计算物理学家成长高效的数值算法精确地模仿量子多表现象。本次专题的别的几篇文┞仿介绍了应用张量收集态(Tensor Network State)办法研究量子多体问题的进展。张量收集算法的成功很大年夜程度上来源竽暌冠量子物质态典范的纠缠构造：面积定律。很多人们关怀的量子体系的两部分之间的纠缠熵仅仅正比于其界线的大年夜小，这使得应用经典计算机高效而精确地研究这些量子多体问题成为可能。有意思的是，量子态所遵守的面积定律还和黑洞的熵有着深刻的接洽。大年夜量子信息的视角核阅引力、虫洞以及量子混沌等现象，甚至有可能加深我们关于时空的本源的懂得。国际上关于这方面的研究开展得如火如荼。美国的Simons 基金会支撑了一项专注于此的合作研究项目。

量子纠缠的深远影响并没有就此止步，一些最新的研究进展注解，它对机械进修(Machine Learning)中的一些问题也可能有启发和指导意义。机械进修的研究目标是让计算机获得必定程度的智能，不须要过多的工资干涉就可以高效地解决实际问题。平日，这种看似神奇的才能是大年夜大年夜量样本的进修中获得的。因为近年来算法和硬件的快速成长以及大年夜量的数据积聚，机械进修取得了一系列令人振奋的结不雅。特别是2016 年3 月Google DeepMind 所制造的AlphaGo 法度榜样克服了世界围棋冠军李世乭，使得以深度进修(Deep Learning)为代表的新一代机械进修技巧走进了大年夜众的视野。如今，机械进修在图像和语音辨认、机械翻译、计算告白、推荐体系等仁攀类生活的方方面面都扮演着日趋重要的角色。而它的应用也在逐渐向天文、物理、化学、材料、生物、医药等浩瀚科学研究范畴渗入渗出。具体到本文作者所工作的范畴：将机械进修办法应用于量子多体问题，可以大年夜高维空间纷杂的微不雅构型数据中提掏出关键的物理信息。而将机械进修的思惟与传统计算门路相结合，为解决凝集态和统计物理中的疑难问题供给了新思路。比来的一些测验测验包含应用机械进修办法探测相变和分类物质相，摸索应用人工神经收集作为量子体系的试探波函数等等。这些测验测验让物理学家们有机会细心核阅机械进修范畴的核心思惟和技巧。本文介绍的就是这一偏向上新出现出的一个研究思路：大年夜量子纠缠的视角核阅深度进修，大年夜而反馈机械进修的成长。

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本文标题：量子纠缠：从量子物质态到深度学习

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