3. 深度进修助力量子物理

大年夜函数近似的不雅点看，深度进修和量子物理之间的接洽异常显然。即便在上一次贯穿连接主义学派研究的低潮期，也曾有过一些应用人工神经收集作为量子体系的变分波函数的测验测验。比来，Carleo 和Troyer测验测验应用限制玻尔兹曼机作为量子自旋体系的多体变分波函数，获得了异常精确的基态能量?浊均衡动力学的结不雅。值得留意的是，传统的限制玻尔兹曼机只能表达取值为正的概率分布函数，为了让它们合适于描述带有相位信息的波函数，Carleo 等将限制玻尔兹曼机的参数推广到复数域。别的，实际计算中Carleo 等采取的函数情势其实是多个共享权重的限制玻尔兹曼机的乘积。如许的构造等价于一个单隐层的卷积神经收集，大年夜而在构造上包管了物理体系的空间平移不变性。Carleo 和Troyer 的结不雅激起了人们极大年夜的兴趣，沿着这个思路往下：类似的人工神经收集还可以或许描述其他丰富多彩的物质态吗?

对于这个问题， 邓东灵、李晓鹏和Das Sarma给出了一个构造性的答复。他们举例颂峦晦制玻尔兹曼机的函数情势可以表达几种受到广泛存眷的拓扑态。而蔡子直接练习图1(a)所示的前馈神经收集以测试它们可否学会表达一些典范的玻色子、费米子、阻挫磁性态的波函数。这些测验测验进一步展示了人工神经收集作为量子多体波函数的潜力。可是，是否有更一般的理论定量地描述这类人工神经收集变分波函数的优势和局限性呢?为了答复这些问题，邓东灵等人 研究了限制玻尔兹曼机的纠缠表达才能。他们发明稠密连接的限制玻尔兹曼机原则上可以或许承载超出面积定律的量子纠缠。本文作者与谢海东、向涛应用等价变换的思路，在玻尔兹曼机和张量收集态之间建立起了一座桥梁。如许就可以经由过程分析对应的┞放量收集态来答复前面关于玻尔兹曼机的各种问题。我们发明恢复平移不变的波函数构造是Carleo 等计算成功的一个关键点，如许的构造在不增长变分参数的情况下奇妙地增长了变分波函数表达才能的上限。郜勋和段路明则大年夜计算复杂性理论的角度分析论证了限制玻尔兹曼机的局限性，并指出深层的玻尔兹曼机可以高效地描述几乎所有已知的量子态。他们的工作注解纠缠熵并非描述表达才能的独一标准。还须要留意的是，更强的表达才能并不料味着在实际计算中可以或许找获得更好的函数近似。别的，黄溢辰和Moore也研究了玻尔兹曼机在量子多体问题中的表达才能。以上这些理论发明，为设计更经济高效的量子多体试探波函数供给了偏向性指引。深度进修的领军人物Yann LeCun也留意到了这一系列来自物理学范畴的工作。他在Facebook 上分享了本身对于量子纠缠、黑洞熵以及张量收集态的懂得，并在最后总结道：“迷人的接洽”。

4. 量子纠缠指引深度进修

上述这些工作的研究思路是应用神经收集近似量子多体波函数。有趣的是，应用逆向思维，量子多体物理也可以或许赞助答复一些关于深度进修的问题。比如，我们可以大年夜量子纠缠的视角来解释深度进修中的深度为什么重要。推敲图2 中所示的两个玻尔兹曼机，它们的隐层神经元个数和权重参数个数都完全相等。不合之处在于图2(a)的隐层神经元呈浅层扁平化分列，而在图2(b)中隐层神经元沿纵深偏向分列成了层级构造。

图2

图2两个不合架构，但参数个数相等的玻尔兹曼机(a)限制玻尔兹曼机;(b)深层玻尔兹曼机。红色虚线框中的神经元承载了收集阁下部分的纠缠。一旦去除它们，收集就分成了自力的两部分

除了赞助分析神经收集的表达才能，量子纠缠也可以作为深度进修应用的“先验常识”：它定量地描述数据集的复杂度，并响应地指导设计人工神经收集的构造。作为一个例子，让我们推敲机械进修里的一个典范数据集：MNIST。如图3 所示，MNIST中包含六万张形态各别的手写数字图片。每一张都是28 × 28 的诟谇图像，其像素灰度取值0~255 。所有可能图像的数量是一个天文数字： 25628×28 。然而，可以想象，真正有意义的手写数字图片只占据着这个巨大年夜无比的“像素空间”中的一个小角落。联想到前文所述，大年夜多半物理上有兴趣的量子态同样仅仅占据希尔伯特空间的一个小角落。我们可以将MNIST中的图片看作是对于某一量子波函数测量所得的构型快照。类比于对量子体系的分析，我们可以将每张图片切成两半，然后研究两部分之间的量子纠缠。留意，如斯定义的纠缠熵是对于全部数据集的分布而言的，并非对于单张图片。数据集的纠缠特点指导我们在进修的过程中合理地分派资本。比如，留意到MNIST 数据集中每一张图片的边沿都是黑色的。这意味着图片边沿像素的取值不依附于任何其他像素，大年夜而不与它们形成纠缠。假如应用玻尔兹曼机来进修如许的概率分布，就完全不须要应用隐变量来传导它们之间的接洽关系。而另一方面，遮住MNIST图片的一半，还可以或许猜测出另一半大年夜致的模样。这就意味着图片的┞封两部分之存放在纠缠。纠缠熵的具体数值定量地告诉我们至少须要若干隐层神经元，以及如何的连接构造才能描述好如许的数据集。

图3 MNIST数据集中的一些样本

曾获得英特尔国际科学与工程大年夜奖的少年Henry W. Lin 和MIT 的宇宙学家Max Tegmark 等合作指出，深度进修成功的关键不仅仅依附于数学，更依附于物理学规律。任何我们关怀的实际数据集——无论是天然图像照样语音旌旗灯号——都是实际世界的反竽暌钩。这也意味着它们平日表示出局域接洽关系、存在对称性、出现层级构造等特点。在本文作者看来，量子纠缠正可以定量化地发掘和应用这些来自于物理定律的先验常识。固然，天然数据集的纠缠熵未必遵守面积定律，但它们离最大年夜纠缠的饱和值还应当差得远。这启发我们借用处理量子多体问题的思路，针对数据集的特点响应地设计合适的函数近顺手段。读者也许会认为奇怪，绝大年夜多半实际应用中碰到的数据不都是经典的吗?为什么非要惹人量子纠缠的概念呢?经典信息论难道不敷用吗?这里我们援引美国计算机科学家和量子信息学家Scott Aaronson 的不雅点：将量子力学看作是经典概率论的数学推广，而量子纠缠就是一个描述多参数函数性质的实用数学对象。文献就是采取类似的研究思路应用量子纠缠来分析描述实际世比赛的复杂收集的。

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本文标题：量子纠缠：从量子物质态到深度学习

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